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这些争论在这里不必赘述。
这里需要指出的是：在什么意义上我们说数学定理是真理？我们认为，说数学定理是真理，除了指它们与客观世界的量的关系或空间关系相符合以外，没有别的意义。
那么，数学定理是不是正确地反映了这种客观的关系呢？这恰恰是推导所不能证明的。
为什么？因为数学的原始论据是公理，推导所遵循的是逻辑规则。
公理本身是否与客观现实符合，逻辑规则本身是否普遍有效，推导尚且不能证明，它又怎么能证明由公理推导出来的定理是否与客观现实符合呢？爱因斯坦说过：“‘真实’这一概念与纯几何学的论点是不相符的，因为‘真实’一词我们在习惯上总是指与一个‘实在的’客体相当的意思；然而几何学并不涉及其中所包含的观念与经验客体之间的关系，而只是涉及这些观念本身之间的逻辑联系。”
[16]又说：“几何观念大体上对应于自然界中具有正确形状的客体，而这些客体无疑是产生这些观念的唯一渊源。”
[17]这些话是对的，不仅适用于几何学，而且原则上也适用于其他门类的数学。
数学推导所证明的，只是数学概念之间的逻辑联系，公理和定理之间以及定理和定理之间的逻辑联系。
至于这些概念、公理和定理与客观世界的客体（或关系）是否符合，即是不是真理，数学推导是没有证明，也不能证明的。
只有把这些概念、公理、定理应用于各门经验科学，通过亿万次的实践，才能解决这个问题。
四、逻辑证明在检验真理过程中的巨大作用
这样说来，逻辑证明对检验真理岂不是没有任何作用了吗？
不，并不是这样。
我们说逻辑证明本身不是检验真理的标准，并不是说它在检验真理的过程中没有作用。
相反，它的作用是巨大的、不可缺少的，而且是不可代替的。
第一，结论的真实性虽然已被蕴含在前提之中，在前提被实践证明的同时就已被实践证明，但前提与结论的蕴含关系并不是可以一望而知的。
当它还没有明晰化的时候，人们并不容易认识到这种关系的存在。
即使知道了前提真，也未必就知道结论真。
在欧氏几何中“平行线内错角相等”
的命题蕴含着“三角形三内角之和等于两直角”
，但是如不经过一番推导，即使知道了前一命题的真，也未必知道后一命题的真。
同样，即使知道了方程式x2-7x+12=0正确地反映了某种客体间的关系，是真的，但是如不经过一番演算，也未必能一眼看出x=3或x=4是真的。
像这样极简单的蕴含关系尚且如此，复杂的蕴含关系就更不用说了（有的蕴含关系甚至需要经过若干亿次的推论才能揭示出来）。
逻辑能够把前提和结论的蕴含关系明晰地揭示出来，把虽然已被实践证实但还不为人们所知道的真理确切地陈述出来，这对于达到检验真理的目的来说就决不是可有可无的。
没有它的辅助，已被实践证实了的真理也往往不为人们所知道和确认。
正如一个人的犯罪行为虽已发生，但如不经过调查核实并作出合乎逻辑的推论就不能确认此人是罪犯一样。
这里顺便说到，有的同志认为逻辑证明根本不能提供任何新知识，此说未免失之偏颇，我未敢苟同。
诚然，演绎推理（包括逻辑证明）的结论是被前提所蕴含的，从这一点说，演绎推理确是同义反复（tautology）。
但是，关于前提的知识并不等于关于结论的知识。
演绎推理能把蕴含在前提中的结论揭示出来，使人们知道前所未知的东西，这也就是提供了新知识。
如果不能提供新知识，那就无异于说只要承认了为数不多的几条公理就等于精通了某门演绎科学，一切演绎科学的著作就都成了废话集了。
第二，在如何组织实践的检验上，逻辑的辅助作用也不可缺少。
如果我们要用实践来检验一个命题的真假，就不能不碰到这样的问题：用什么实践来检验？通过什么途径来检验？是直接检验这个命题还是通过检验别的命题来检验它？这就需要进行一番“设计”
。
要使“设计”
能达到有效地检验命题的目的，除了借助于已有的经验知识以外，还少不了运用逻辑。
即使检验最简单的经验命题，也必须如此。
例如，我们要检验“这只梨是甜的”
这个命题真不真，是怎样检验的呢？当然，吃一口就是了。
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